题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆与双曲线2x²-2y²=1共焦点，且过（

2

，0）
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

答案

（1）依题意得，将双曲线方程标准化为

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，则c=1．
∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，∵椭圆过（

2

，0），
∴

2

a2

+

0

a2-1

=1，即a2=2，∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则
y=2x+b 且

x2

2

+y2=1得，9x²+8xb+2b²-2=0，∴x₁+x₂=-

8b

9

，y1+y2=

2b

9

．
即x=-

4b

9

，y=

b

9

两式消掉b得 y=-

1

4

x．
令△=0，64b²-36（2b²-2）=0，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3
即当x=±

4

3

时斜率为2的直线与椭圆相切．
所以平行弦得中点轨迹方程为：y=-

1

4

x（-

4

3

≤x≤

4

3

）．