在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=2PB，记点P的轨迹曲线为C．（1）求曲线C的方程；（2）曲线C上不同两点 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=

PB，记点P的轨迹曲线为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上不同两点Q （x₁，y₁），R （x₂，y₂）满足

=λ

，点S为R 关于x轴的对称点．
①试用λ表示x₁，x₂，并求λ的取值范围；
②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．

答案

（1）设点P坐标为（x，y），由PA=

PB，得

(x-2a)2+y2

(x-a)2+y2

，平方整理得x²+y²=2a²，所以曲线C的方程为x²+y²=2a²
（2）①由

=λ

，得

x2-λx1=2a(1-λ)

y2=λy1

，∵Q，R在曲线C上，∴

=2a2

，
∴x1=

3-λ

a，x2=

3λ-1

2λ

a，∵-

a≤x1，x2≤

a，∴3-2

≤λ≤3+2

又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范围是[3-2

，1)∪(1，3+2

)
②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：

=(x2-a，--y2)，

=(x1-a，--y1)，
要证S，T，Q三点共线，只要证明

∥

，即（x₂-a）y₁-（x₁-a）（-y₂）=0
∵y₂=λy₁，∴只要（x₂-a）y₁+λ（x₁-a）y₁=0
若y₁=0，则y₂=0成立
若y₁≠0，只要x₂+λx₁-a（1+λ）=0成立
所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线

核心考点

试题【在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=2PB，记点P的轨迹曲线为C．（1）求曲线C的方程；（2）曲线C上不同两点】；主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知两点M（-2，0），N（2，0），点P满足

•

=12，则点P的轨迹方程为（　　）

A．

+y²=1

B．x²+y²=16

C．y²-x²=8

D．x²+y²=8

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在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

)，(0，

)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点(0，

)作两条互相垂直的直线l₁，l₂分别与曲线C交于A，B和CD．
①以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的k值，若不能说明理由；
②求四边形ABCD面积的取值范围．

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已知F₁、F₂分别为椭圆C： $数学公式$ 的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF₁F₂的重心G的轨迹方程为（　　）

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热门考点

A．

^(y≠0)

B．

^(y≠0)

C．

^(y≠0)

D．

^(y≠0)

已知圆C₁：（x-4）²+y²=1，圆C₂：x²+（y-2）²=1，动点P到圆C₁，C₂上点的距离的最小值相等．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点P的轨迹上是否存在点Q，使得点Q到点A（-2

，0）的距离减去点Q到点B（2

，0）的距离的差为4，如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由．

已知点p是圆（x+1）²+y²=16上的动点，圆心为B．A（1，0）是圆内的定点；PA的中垂线交BP于点Q．
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）若直线l交轨迹C于M，N（MN与x轴、y轴都不平行）两点，G为MN的中点，求K_MN•K_OG的值（O为坐标系原点）．