已知点p是圆(x+1)2+y2=16上的动点,圆心为B.A(1,0)是圆内的定点;PA的中垂线交BP于点Q. (1)求点Q的轨迹C的方程; (2)若直线l交轨迹C于M,N(MN与x轴、y轴都不平行)两点,G为MN的中点,求KMN•KOG的值(O为坐标系原点). |
(1)由条件知:|QA|=|QP|, ∵|QB|+|QP|=4, ∴|QB|+|QA|=4, ∵|AB|=2<4, 所以点Q的轨迹是以B,A为焦点的椭圆, ∵2a=4,2c=2,∴b2=3, 所以点Q的轨迹C的方程是+=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),则G(,). ∵直线l与椭圆相较于点M,N, ∴+=1,+=1, ∴+=0,可得=-. ∵kMN=,kOG=, ∴kMN×kOG==-. 另设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),直线MN的方程为y=kx+b(k≠0), 则G(,), ∵y1=kx1+b,y2=kx2+b,∴y1+y2=k(x1+x2)+2b, ∴kOG==k+, 将y=kx+b代入椭圆方程得:(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0, ∴x1+x2=-, ∴kOG=k+=k-=-, 所以kMN•kOG=k•(-)=-. |
核心考点
试题【已知点p是圆(x+1)2+y2=16上的动点,圆心为B.A(1,0)是圆内的定点;PA的中垂线交BP于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程;(2)若直线l交轨迹C于】;主要考察你对
求轨迹方程等知识点的理解。
[详细]
举一反三
设椭圆+=1(a>b>0)的左右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率e=.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|. (1)求椭圆的方程; (2)求动点C的轨迹E的方程; (3)设直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点,试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论. |
已知椭圆C:+=1(a>b≥0),其离心率为,两准线之间的距离为. (1)求a,b之值; (2)设点A坐标为(6,0),B为椭圆C上的动点,以A为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母A,B,P按顺时针方向排列),求P点的轨迹方程. |
在平面直角坐标系中xOy中,O为坐标原点,A(-2,0),B(2,0),点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点D(1,0)的直线l交轨迹C于不同的两点M,N,△MON的面积是否存在最大值?若存在,求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程;若不存在,请说明理由. |
在四边形ABCD中,已知A(0,0),D(0,4),点B在x轴上,BC∥AD,且对角线AC⊥BD. (Ⅰ)求点C的轨迹方程; (Ⅱ)若点P是直线y=2x-5上任意一点,过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF,E、F为切点,M为EF的中点.求证:PM⊥x轴; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,直线EF是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由. |
在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA与PB的斜率之积为定值-. (Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程; (Ⅱ)若F(1,0),过点F的直线l交轨迹E于M、N两点,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上,求直线l的方程. |