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题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2


7
的圆的方程.
(Ⅱ)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
答案
(Ⅰ)设圆心为(a,3a),
由圆与x轴相切可得圆的半径r=3|a|.
∵圆心到直线的距离d=
|a-3a|


2
=


2
a
,圆被直线x-y=0截得的弦长为2


7

∴根据垂径定理,得r2=d2+(


7
2
即9a2=2a2+7,解得a=±1.
由此可得所求圆的圆心为(1,3)或(-1,-3),半径r=3.
∴圆C的方程为 (x+1)2+(y+3)2=9或 (x-1)2+(y-3)2=9.
(Ⅱ)设P(x,y),圆上的动点N(x0,y0),则
线段OP的中点坐标为(
x
2
y
2
),线段MN的中点坐标为(
x0-3
2
y0+4
2
),
又∵平行四边形的对角线互相平分,





x
2
=
x0-3
2
y
2
=
y0+4
2
,可得x0=x+3且y0=y-4,
∴N坐标为(x+3,y-4),
N点坐标应满足圆的方程,代入化简可得(x+3)2+(y-4)2=4,
直线OM与轨迹相交于两点(-
9
5
12
5
)和(-
21
5
28
5
),不符合题意,舍去
因此,所求点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4(点(-
9
5
12
5
)和(-
21
5
28
5
)除外).
核心考点
试题【(Ⅰ)求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程.(Ⅱ)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
与y轴相切且和半圆x2+y2=4(0≤x≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是(  )
A.y2=4(x+1)(0<x≤1)B.y2=4(x-1)(0<x≤1)
C.y2=-4(x-1)(0<x≤1)D.y2=-2(x-1)(0<x≤1)
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若△ABC的个顶点坐标A(-4,0)、B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为(  )
A.
x2
25
+
y2
9
=1
B.
y2
25
+
x2
9
=1
(y≠0)
C.
x2
16
+
y2
9
=1
(y≠0)
D.
x2
25
+
y2
9
=1
(y≠0)
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平面上动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点M(4,0)的直线与点P的轨迹交于A,B两点,求


OA


OB
的值.
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平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足


OC
1


OA
2


OB
(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ12=1,则点C的轨迹是(  )
A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线
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如图,DP⊥x轴,点M在DP的延长线上,且
|DM|
|DP|
=
3
2
,当点P在圆x2+y2=4上运动时,求:动点M的轨迹方程.
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