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题目
题型:临沂二模难度:来源:
已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足


HP


PM
=0,


PM
=-
3
2


MQ

(I)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)设动点M的轨迹为C,如果过定点A(x0,y0)的直线与曲线C相交不同的两点S、R,求证:曲线C在S、R两点处的切线的交点在一条定直线上.
答案
(I)设P(a,0),Q(0,b)(b>0),
点M在直线PQ上,


HP


PM
=0



HP


PQ
=(a,3)•(-a,b)=-a2+3b=0

∴a2=3b,
设M(x,y),由


PM
=-
3
2


MQ
得,
(x-a,y)-=
3
2
(-x,-y+b)






x-a=
3
2
x
y=
3
2
(y-b)





a=
1
2
x
b=
1
3
y(b>0)

y=
1
4
x2(x≠0)

点M的轨迹方程为y=
1
4
x2(x≠0)

(II)解法一:设S(x1
1
4
x21
),R(x2
1
4
x22
)(x1x2)

则直线SR的方程为:y-
1
4
x21
=
1
4
x22
-
1
4
x21
x2-x1
(x-x1)

y=
1
4
(x1+x2)x-
x1x2
4

∵A点在SR上,
y0=
1
4
(x1+x2)x0-
x1x2
4

y=
1
4
x2
求导得:y=
1
2
x

∴抛物线上S、R处的切线方程为:y-
1
4
x21
=
1
2
x1(x-x1)即y=
x1x
2
-
x21
4

y-
1
4
x22
=
1
2
x2(x-x2)即y=
x2x
2
-
x22
4

联立②③,并解之得





x=
x1+x2
2
y=
1
4
x1x2
代入①得
y0=
x0x
2
-y,即x0x-2y-2y0=0

故切线的交点在定直线x0x-2y=2y0=0上.
解法二:当过点A的直线斜率不存在时与题意不符.设直线SR的方程为y-y0=k(x-x0
代入抛物线方程得x2-4kx+4x0k-4y0=0.
S1(x1
1
4
x21
),R(x2
1
4
x22
)(x1x2)

由韦达定理





x1+x2=4k
x1x2=4(x0k-y0)
(*)
又过S,R点的切线方程分别是:y=
x1
2
x-
x21
4
,y=
x2
2
x-
x22
4

两切线的交点为





x=
x1+x2
2
y=
1
4
x1x2

代入(*)得





x=2k
y=x0k-y0
(k为参数)

消去k,得x0x-2y-2y0=0
故切线的交点在定直线x0x-2y-2y0=0上.
核心考点
试题【已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足HP•PM=0,PM=-32MQ.(I)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
若动圆的圆心在抛物线x2=12y上,且与直线y+3=0相切,则此动圆恒过定点(  )
A.(0,2)B.(0,-3)C.(0,3)D.(0,6)
题型:惠州模拟难度:| 查看答案
已知椭圆9x2+2y2=18上任意一点P,由P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在线段PQ上,且


PM
=2


MQ
,点M的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)若过定点F(0,2)的直线l交曲线E于不同的两点G,H(点G在点F,H之间),且满足


FG
=
1
2


FH
,求直线l的方程.
题型:青岛一模难度:| 查看答案
已知抛物线y2=4x及点P(2,2),直线l的斜率为1且不过点P,与抛物线交于点A,B,
(1)求直线l在y轴上截距的取值范围;
(2)若AP,BP分别与抛物线交于另一点C、D,证明:AD,BC交于定点.
题型:佛山二模难度:| 查看答案
已知曲线C:x2-y|y|=1.
(1)画出曲线C的图象,
(2)若直线l:y=x+m与曲线C有两个公共点,求m的取值范围;
(3)若过点P(0,2)的直线与曲线C在x轴上方的部分交于不同的两点M,N,求t=


OM


OP
+


OM


PN
的范围.
题型:不详难度:| 查看答案
若抛物线y2=2px的焦点与双曲线
x2
3
-y2=1的右焦点重合,则实数p=______.
题型:江苏二模难度:| 查看答案
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