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题目
题型:上海模拟难度:来源:
设有抛物线C:y=-x2+
9
2
x-4,通过原点O作C的切线y=mx,使切点P在第一象限.
(1)求m的值,以及P的坐标;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q;
(3)设C上有一点R,其横坐标为t,为使DOPQ的面积小于DPQR的面积,试求t的取值范围.
答案
(1)设点P的坐标为(x1,y1),则y1=kx1①,y1=-x12+
9
2
x1-4②,
①代入②,得:x12+(k-
9
2
)x1+4=0
因为点P为切点,所以(k-
9
2
2-16=0,得:k=
17
2
或k=
1
2

当k=
17
2
时x1=-2,y1=-17;当k=
1
2
时,x1=2,y1=1;
因为点P在第一象限,故所求的斜率k=
1
2
,P的坐标为(2,1),
(2)过P点作切线的垂线,其方程为:y=-2x+5③,代入抛物线方程,得:
x2-
13
2
x+9=0,设Q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,所以x2=
9
2
,y2=-4,
所以Q点的坐标为(
9
2
,-4)
(3)设C上有一点R(t,-t2+
9
2
t-4),它到直线PQ的距离为:
d=
|2t+(-t2+
9
2
t-4)-5|


5
=
|t2-
13
2
t+9|


5

点O到直线PQ的距离PO=


5
,SDOPQ=
1
2
´PQ´OP,SDPQR=
1
2
´PQ´d,
因为DOPQ的面积小于DPQR的面积,SDOPQ<SDPQR
即:OP<d,即:|t2-
13
2
t+9|
>5,
t2-
13
2
t
+4>0或t2-
13
2
t
+14<0
解之得:t<
13-


105
4
或t>
13+


105
4

所以t的取值范围为t<
13-


105
4
或t>
13+


105
4
核心考点
试题【设有抛物线C:y=-x2+92x-4,通过原点O作C的切线y=mx,使切点P在第一象限.(1)求m的值,以及P的坐标;(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知曲线C是与两个定点A(-4,0),B(2,0)距离比为2的点的轨迹,求此曲线C的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
在极坐标系中,曲线ρ=3截直线ρcos(θ+
π
4
)=1
所得的弦长为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
双曲线C与椭圆
x2
36
+
y2
16
=1
 有相同的焦点,且C的渐近线为x±


3
y=0
,则双曲线C的方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
x2
9
+
y2
4
=1
 上的点与直线2x-y+10=0的最大距离是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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