题目

题型：不详难度：来源：

设双曲线C：

x2

a2

-y2=1 (a＞0) 与直线 l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（1）求a的取值范围：（2）设直线l与y轴的交点为P，且

PA

=

5

12

PB

．求a的值．

答案

（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2 a2 -y2=1 x+y=1.

有两个不同的实数解．
消去y并整理得 （1-a²）x²+2a²x-2a²=0①，所以

1-a2≠0. 4a4+8a2(1-a2)＞0.

   解得0＜a＜

2

且a≠1．
所以a的取值范围为：(0，1)∪(1，

2

)．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵

PA

=

5

12

PB

，    ∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1).     由此得x1=

5

12

x2．
由于x₁，x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以

17

12

x2=-

2a2

1-a2

．，

5

12

x

22

=-

2a2

1-a2

.    消去，x2，得-

2a2

1-a2

=

289

60

    由a＞0，所以a=

17

13

．