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题目
题型:不详难度:来源:
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右准线l2与一条渐近线l交于点P,F是双曲线的右焦点.
(Ⅰ)求证:PF⊥l;
(Ⅱ)若|PF|=


2
,且双曲线的离心率e=


3
,求该双曲线的方程;
(Ⅲ)若过点A(2,1)的直线与(Ⅱ)中的双曲线交于两点P1,P2,求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
答案
(Ⅰ)证明:右准线为x=
a2
c
,由对称性,不妨设渐近线l为y=
b
a
x
,则P(
a2
c
ab
c
)

又F(c,0),∴kPF=
ab
c
-0
a2
c
-c
=-
a
b

又∵kl=
b
a
,∴kPFkl=-
a
b
b
a
=-1
,∴PF⊥l;
(Ⅱ)∵|PF|为F(c,0)到l:bx-ay=0距离,∴
|bc|


a2+b2
=


2
,即b=


2

e=
c
a
=


3
,∴
a2+b2
a2
=3
,解得a2=1.
故双曲线方程为x2-
y2
2
=1

(Ⅲ)设M(x,y),
当过点A的直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),





y-1=k(x-2)
x2-
y2
2
=1

可得(2-k2)x2-2k(1-2k)x-(1-2k)2-2=0.
当(2-k2)≠0,△=(1-2k)24k2+4(2-k2)[(1-2k)2+2]>0时,
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),∴x=
x1+x2
2
=
k(1-2k)
2-k2
(1)y=
y1+y2
2
=
k(x1+x2)-4k+2
2
=
2(1-2k)
2-k2
(2)
k=
1
2
时,此时M(0,0).
k≠
1
2
时,显然y≠0.此时(1)÷(2)得k=
2x
y
,将其代入(2),
y
2
=
y(y-4x)
2y2-4x2
.∵y≠0,∴有2x2-y2-4x+y=0.显然(0,0)也满足此方程.
当直线的斜率不存在时,此时直线方程为x=2,则P1P2中点为(2,0)符合上式.
综上可知,M点的轨迹方程为2x2-y2-4x+y=0.
核心考点
试题【已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P,F是双曲线的右焦点.(Ⅰ)求证:PF⊥l;(Ⅱ)若|PF|=2,且双曲线的】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知曲线C的极坐标方程是ρ2(1+3sin2θ)=4,直线l的参数方程是





x=6-
2


5
5
t
y=


5
5
t
(t为参数).
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)设点M为曲线C上任一点,求M到直线l的距离的最大值.
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不论k为何值,直线y=kx+1与椭圆
x2
7
+
y2
m
=1有公共点,则实数m的范围是(  )
A.(0,1)B.[1,+∞)C.[1,7)∪(7,+∞)D.(0,7)
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已知斜率为1的直线l与双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于B,D两点,BD的中点为M(1,3).
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右焦点为F,|DF|•|BF|≤17,求b2-a2取值范围.
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过M(1,0)作抛物线y2=8x的弦AB,若|AB|=
8


10
3
,则直线AB的倾斜角是______.
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下列四个命题:
①等轴双曲线的离心率为


2

②双曲线
y2
49
-
x2
25
=-1
的渐近线方程为y=±
5
7
x

③抛物线2y2=x的准线方程为x=-
1
8

④方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
其中真命题的序号是______.(写出所有真命题的序号)
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