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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
4
+y2=1
的焦点为F1、F2,抛物线y2=px(p>0)与椭圆在第一象限的交点为Q,若∠F1QF2=60°.
(1)求△F1QF2的面积;
(2)求此抛物线的方程.
答案
(1)∵Q在椭圆上,
∴|QF1|+|QF2|=4,
|QF1|2+2|QF1||QF2|+|QF2|2=16,…①
在△QF1F2中,∵∠F1QF2=60°,
|QF1|2+|QF2|2-2|QF1||QF2|cos60°=|F1F2|2=12…②
①-②,得:|QF1||QF2|=
4
3

S△QF1F2=
1
2
|QF1||QF2|sin60°=


3
3

(2)设Q(x0,y0),(x0>0,y0>0)
由(1)知,S△QF1F2=
1
2
|F1F2|y0
=


3
3

∵|F1F2|=2c=2


4-1
=2


3



3
y0=


3
3

y0=
1
3

又Q点在椭圆上,所以
x20
4
+
1
9
=1

x0=
4


2
3

Q(
4


2
3
1
3
)

又Q点在抛物线上,
所以(
1
3
)2=p×
4


2
3

p=


2
24

所以抛物线方程为y2=


2
24
x
核心考点
试题【已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1、F2,抛物线y2=px(p>0)与椭圆在第一象限的交点为Q,若∠F1QF2=60°.(1)求△F1QF2的面积;(2)求此】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-


3
)
(0,


3
)
的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程;
(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时


OA


OB
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曲线
y2
9
-
x|x|
4
=1
与直线y=x+3的交点个数是______.
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a>0,b>0)
的离心率为


3
,若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合.设双曲线与抛物线的一个交点为P,抛物线的焦点为F,则|PF|=______.
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已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1有A、B两个不同的交点.
(1)如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值;
(2)是否存在k,使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称?试述理由.
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已知抛物线x2=4y及定点P(0,8),A、B是抛物线上的两动点,且


AP


PB
(λ>0)
.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明:点M的纵坐标为定值;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.
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