已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1有A、B两个不同的交点. (1)如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值; (2)是否存在k,使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称?试述理由. |
(1)设A(x1,kx1+1),B(x2,kx2+1),则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是AO⊥BO, ∴x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0…① 由消去y得 (3-k2)x2-2kx-2=0…②∴ 将其代入①得++1=0,解得k=1或k=-1. 当k=1时,方程②为2x2-2x-2=0,有两个不等实根; 当k=-1时,方程②为x2+x-1=0,有两个不等实根. 故当k=1或k=-1时,以AB为直径的圆恰好过原点O. (2)若A(x1,kx1+1),B(x2,kx2+1)关于直线y=2x对称, 则 | k=- | (kx1+1)+(kx2+1)=2(x1+x2) |
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将④整理得(k-2)(x1+x2)+2=0. 因为x1+x2=,所以+2=0,解之,得k=.这个结果与③矛盾. 故不存在这样的k,使两点A、B关于直线y=2x对称. |
核心考点
试题【已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1有A、B两个不同的交点.(1)如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值;(2)是否存在k,使得两个不同的交点A、】;主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
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举一反三
已知抛物线x2=4y及定点P(0,8),A、B是抛物线上的两动点,且=λ(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. (Ⅰ)证明:点M的纵坐标为定值; (Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点分别是F1,F2,点M(1 ,)在椭圆上,且|MF1|+|MF2|=4. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)若直线l:y=kx+t(k≠0,t>0)与椭圆C:+=1交于A,B两点,点P满足+=,点Q的坐标是(0 ,),设直线PQ的斜率是k1,且k1•k=2,求实数t的取值范围. |
已知实数p>0,直线3x-4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆x2+(y-)2=从左到右的交点依次为A、B、C、D,则的值为______. |
直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于不同的两点M,N,过点M,N作x轴的垂线,垂足恰好是椭圆的两个焦点,已知椭圆的离心率是,直线l的斜率存在且不为0,那么直线l的斜率是______. |
已知抛物线C:x2=ay(a>0),斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,且抛物线上一点M(2 , m) (m>1)到点F的距离是3. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若k>0,且=3,求k的值. (Ⅲ)过A,B两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为点Q,求证: • =0. |