题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点
（Ⅰ）若抛物线C和椭圆C′都经过点M（1，2），求抛物线C和椭圆C′的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点p（3，0），交抛物线C于A，B两点，直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，求抛物线C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过A，B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D，直线AB与轨迹D交于点F，求|EF|的最小值．

答案

（I）设抛物线C的方程为：y²=2px，
抛物线C经过点M（1，2）则2²=2p×1
∴抛物线C的方程为：y²=4x其焦点为F₂（1，0）
故可设椭圆C′的焦点为F₁（1，0）和F₂（1，0），
2a=|MF₁|+|MF₃|=2

2

+2
∴b²=（

2

+1）²-1²=2+2

2

∴椭圆C′的方程为：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1（3分）
（II）设A（2pt²，2pt）则AP的中点Q（pt²+

3

2

，pt），
以AP为直径的圆的半径为r
r²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²，
设Q（pt²+

3

2

，pt）到直线l′：x=2的距离为d
则d=|pt²+

3

2

-2|=|pt²-

1

2

|
设直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦为MN，则：
(

|MN|

2

)2=r²-d²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²-（pt²-

1

2

）²=（p²-2p）t²+2
由于|MN|为定值，所以p²-2p=0所以p=2
∴抛物线C的方程为：y²=4x（8分）
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
利用导数法或判别式法可求得AE，BE的方程分别为
AE：y1y=2（x₁+x），BE：y₂y=2（x₂+x）若E（x₀，y₀）则
y₁y₀=2（x₁+x₀），y₂y₀=2（x₂+x₀）故AB：y₀y=2（x₀+x）
又因为AB过点P（3，0），所以y₀×0=2（x₀+3）所以x₀=-3
即E的轨迹为D的方程为x=-3，交AB：y₀y=2（x₀+x）于点F（-3，-

12

y0

）
|EF|=|y₀-（-

12

y0

）|=|y₀+

12

y0

|≥2

y0• 12 y0

=4

3

；
当且仅当y₀=

12

y0

即y₀=±2

3

时取等号；
所以|EF|的最小值为4

3

．（13分）