题目
题型:不详难度:来源:
(1)设F1、F2是椭圆M:
x2 |
25 |
y2 |
9 |
2 |
5 |
(2)设F1、F2是椭圆M:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明.
(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明).
答案
|-4
| ||||
|
|-4
| ||||
|
联立方程
|
10 |
∴△=(50
10 |
(2)联立方程组
|
∴△=(2a2mp)2-4a2(a2m2+b2n2)(p2-b2n2)=4a2b2n2(a2m2+b2n2-p2)=0
∴p2=a2m2+b2n2…(8分)
∵椭圆的焦点为:F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2
∴d1•d2=
|-mc+p| | ||
|
|mc+p| | ||
|
|p2-m2c2| |
m2 +n2 |
=
|a 2m2+b 2n 2- m2c2| |
m2 +n2 |
(3)设F1、F2是椭圆M:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
点F1、F2到直线L:mx+ny+p=0(m、n不同时为零)的距离分别为d1、d2,且F1、F2在直线L的同侧.
那么直线L与椭圆相交的充要条件为:d1d2<b2;
直线L与椭圆M相切的充要条件为:d1d2=b2;
直线L与椭圆M相离的充要条件为:d1d2>b2 …(14分)
证明:由(2)得,直线L与椭圆M相交⇔(*)中△>0⇔p2<a2m2+b2n2
⇔d1•d2=
|-mc+p| | ||
|
|mc+p| | ||
|
|p2-m2c2| |
m2 +n2 |
|a 2m2+b 2n 2- m2c2| |
m2 +n2 |
同理可证:直线L与椭圆M相离⇔d1d2>b2;直线与椭圆相切⇔d1d2=b2…(16分).命题得证.
(写出其他的充要条件仅得(2分),未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分)
(4)可以类比到双曲线:设F1、F2是双曲线M:
x 2 |
a 2 |
y 2 |
b 2 |
点F1、F2到直线L:mx+ny+p=0(m、n不同时为零)距离分别为d1、d2,且F1、F2在直线L的同侧.
那么直线L与双曲线相交的充要条件为:d1d2<b2;
直线L与双曲线M相切的充要条件为:d1d2=b2;
直线L与双曲线M相离的充要条件为:d1d2>b2.…(20分)
核心考点
试题【我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题.(1)设F1、F2是】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
MF |
FB |
2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,当直线l交椭圆于P、Q两点时,使点F恰为△PQM的垂心.若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026054332-29242.png)
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)直线l经过点O交椭圆Γ于P、Q两点,NP=NQ,求直线l的方程.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026054327-37899.png)
x2 |
a2 |
PF1 |
PF2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l1:y=kx+m,l2:y=kx+n,若l1、l2均与椭圆C相切,证明:m+n=0;
(3)在(2)的条件下,试探究在x轴上是否存在定点B,点B到l1,l2的距离之积恒为1?若存在,请求出点B坐标;若不存在,请说明理由.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026054324-71617.png)
(1)求抛物线C的方程;
(2)设
FA |
FB |
8 |
9 |
1 |
4 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆Σ2的方程;
(2)设椭圆Σ2的另一个焦点为F1,试判断直线FF1与l的位置关系.若相交,求出交点坐标;若平行,求两直线之间的距离.
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