已知抛物线Σ1：y=14x2的焦点F在椭圆Σ2：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ1相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ2的焦点F2．（1） - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线Σ₁：y=

x2的焦点F在椭圆Σ₂：

=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ₁相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ₂的焦点F₂．
（1）求椭圆Σ₂的方程；
（2）设椭圆Σ₂的另一个焦点为F₁，试判断直线FF₁与l的位置关系．若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．

答案

（1）抛物线y=

x2即x²=4y的焦点F（0，1），
由题意可得

=1，解得b=1，
切线l的斜率k=y/=

x|x=2=1，
∴切线l方程为y-1=x-2，即x-y-1=0，
令y=0，解得x=1．∴焦点F₂（1，0），即c=1．
∴a=

b2+c2

，
椭圆Σ₂的方程为

+y2=1．
（2）由（1）得F₁（-1，0），
直线FF₁的方程为

y-0

1-0

x-(-1)

0-(-1)

，即x-y+1=0，
∵kFF1=k=1，且F₁（-1，0）不在直线l上，
∴直线FF₁∥l，
FF₁与l之间的距离即为F（0，1）到直线l的距离d=

|0-1-1|

12+12

．

核心考点

试题【已知抛物线Σ1：y=14x2的焦点F在椭圆Σ2：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ1相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ2的焦点F2．（1）】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

给定椭圆C：

=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-

，0)，F2(

，0)．
（1）若椭圆C上一动点M₁满足|

M1F1

|+|

M1F2

|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2

，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m²），（n，n²）的直线的最短距离dmin=

a2+b2-b

．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

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已知半椭圆

=1(y≥0)和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆

=1(y≥0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x²+y²=b²（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(

，-

)时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE²+BF²为定值．

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过椭圆

+y2=1的左焦点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求

•

AF1

的范围；
（2）若

⊥

，求直线l的方程．

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已知两定点E(-

，0)，F(

，0)，动点P满足

•

=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足

-1)

，点M的轨迹为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若线段AB是曲线C的一条动弦，且|AB|=2，求坐标原点O到动弦AB距离的最大值．

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已知两点A（-2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为-

．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x-1）²+y²=r²（0＜r＜

）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．

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