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题目
题型:不详难度:来源:
已知半椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)
和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线C,其中a>b>0;如图,半椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)
内切于矩形ABCD,且CD交y轴于点G,点P是半圆x2+y2=b2(y≤0)上异于A,B的任意一点,当点P位于点M(


6
3
,-


3
3
)
时,△AGP的面积最大.
(1)求曲线C的方程;
(2)连PC、PD交AB分别于点E、F,求证:AE2+BF2为定值.
答案
(1)已知点M(


6
3
,-


3
3
)

在半圆x2+y2=b2(y≤0)上,
所以(


6
3
)2+(-


3
3
)2=b2
,又b>0,
所以b=1,当半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点P处的切线与直线AG平行时,
点P到直线AG的距离最大,
此时△AGP的面积取得最大值,
故半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点M处的切线与直线AG平行,
所以OM⊥AG,又kOM=
yM-0
xM-0
=-


2
2

所以kAG=


2
=
a
b
,又b=1,所以a=


2
,(4分)
所以曲线C的方程为x2+
y2
2
=1(y≥0)
或x2+y2=1(y≤0).
(2)点C(1,


2
)
,点D(-1,


2
)

设P(x0,y0),则有直线PC的方程为y-


2
=
y0-


2
x0-1
(x-1)

令y=0,得x=1-


2
(x0-1)
y0-


2

所以AE=2-


2
(x0-1)
y0-


2

直线PD的方程为y-


2
=
y0-


2
x0+1
(x+1)

令y=0,得xF=-1-


2
(x0+1)
y0-


2

所以BF=2+


2
(x0+1)
y0-


2

AE2+BF2=[2-


2
(x0-1)
y0-


2
]2+[2+


2
(x0+1)
y0-


2
]2

=
4
x20
+4
(y0-


2
)
2
+
8


2
y0-


2
+8

又由x02+y02=1,得x02=1-y02
代入上式得AE2+BF2=
8-4
y20
(y0-


2
)
2
+
8


2
y0-


2
+8

=
8-4
y20
+8


2
(y0-


2
)
(y0-


2
)
2
+8

=
-4(y0-


2
)
2
(y0-


2
)
2
+8=4
,所以AE2+BF2为定值.
核心考点
试题【已知半椭圆x2b2+y2a2=1(y≥0)和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线C,其中a>b>0;如图,半椭圆x2b2+y2a2=1(y≥0)内切于矩形AB】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
过椭圆
x2
2
+y2=1
的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求


AO


AF1
的范围;
(2)若


OA


OB
,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知两定点E(-


2
,0),F(


2
,0)
,动点P满足


PE


PF
=0
,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足


PM
=(


2
-1)


MQ
,点M的轨迹为C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.
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已知两点A(-2,0),B(2,0),直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-
3
4

(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=r20<r<
3
2
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=它(a>b>0)的短轴长为2,离心率为


2
2

(它)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H,设m为椭圆C上一点,且满足


OG
+


OH
=t


Om
(O为坐标原点),当|


mG
-


mH
|<
2


5
3
时,求实数t的取值范围?
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椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),点A为左顶点,点B为上顶点,直线AB的斜率为


3
2
,又直线y=k(x-1)经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)将|MN|表示为k的函数;
(Ⅲ)线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P,又点Q(1,0),求证:
|PQ|
|MN|
为定值.
题型:不详难度:| 查看答案
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