题目
题型:不详难度:来源:
已知半椭圆
+
=1(y≥0)和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线C,其中a>b>0;如图,半椭圆
+
=1(y≥0)内切于矩形ABCD,且CD交y轴于点G,点P是半圆x2+y2=b2(y≤0)上异于A,B的任意一点,当点P位于点M(
,-
)时,△AGP的面积最大.
(1)求曲线C的方程;
(2)连PC、PD交AB分别于点E、F,求证:AE2+BF2为定值.
x2 |
b2 |
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
y2 |
a2 |
| ||
3 |
| ||
3 |
(1)求曲线C的方程;
(2)连PC、PD交AB分别于点E、F,求证:AE2+BF2为定值.
答案
(1)已知点M(
,-
)
在半圆x2+y2=b2(y≤0)上,
所以(
)2+(-
)2=b2,又b>0,
所以b=1,当半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点P处的切线与直线AG平行时,
点P到直线AG的距离最大,
此时△AGP的面积取得最大值,
故半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点M处的切线与直线AG平行,
所以OM⊥AG,又kOM=
=-
,
所以kAG=
=
,又b=1,所以a=
,(4分)
所以曲线C的方程为x2+
=1(y≥0)或x2+y2=1(y≤0).
(2)点C(1,
),点D(-1,
),
设P(x0,y0),则有直线PC的方程为y-
=
(x-1),
令y=0,得x=1-
,
所以AE=2-
;
直线PD的方程为y-
=
(x+1),
令y=0,得xF=-1-
,
所以BF=2+
;
则AE2+BF2=[2-
]2+[2+
]2
=
+
+8,
又由x02+y02=1,得x02=1-y02,
代入上式得AE2+BF2=
+
+8
=
+8
=
+8=4,所以AE2+BF2为定值.
| ||
3 |
| ||
3 |
在半圆x2+y2=b2(y≤0)上,
所以(
| ||
3 |
| ||
3 |
所以b=1,当半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点P处的切线与直线AG平行时,
点P到直线AG的距离最大,
此时△AGP的面积取得最大值,
故半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点M处的切线与直线AG平行,
所以OM⊥AG,又kOM=
yM-0 |
xM-0 |
| ||
2 |
所以kAG=
2 |
a |
b |
2 |
所以曲线C的方程为x2+
y2 |
2 |
(2)点C(1,
2 |
2 |
设P(x0,y0),则有直线PC的方程为y-
2 |
y0-
| ||
x0-1 |
令y=0,得x=1-
| ||
y0-
|
所以AE=2-
| ||
y0-
|
直线PD的方程为y-
2 |
y0-
| ||
x0+1 |
令y=0,得xF=-1-
| ||
y0-
|
所以BF=2+
| ||
y0-
|
则AE2+BF2=[2-
| ||
y0-
|
| ||
y0-
|
=
4
| ||
(y0-
|
8
| ||
y0-
|
又由x02+y02=1,得x02=1-y02,
代入上式得AE2+BF2=
8-4
| ||
(y0-
|
8
| ||
y0-
|
=
8-4
| ||||||
(y0-
|
=
-4(y0-
| ||
(y0-
|
核心考点
试题【已知半椭圆x2b2+y2a2=1(y≥0)和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线C,其中a>b>0;如图,半椭圆x2b2+y2a2=1(y≥0)内切于矩形AB】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知两定点E(-
,0),F(
,0),动点P满足
•
=0,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足
=(
-1)
,点M的轨迹为C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.
2 |
2 |
PE |
PF |
PM |
2 |
MQ |
(I)求曲线C的方程;
(II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.
已知两点A(-2,0),B(2,0),直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-
.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=r2(0<r<
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
3 |
4 |
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=r2(0<r<
3 |
2 |
已知椭圆C:
+
=它(a>b>0)的短轴长为2,离心率为
.
(它)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H,设m为椭圆C上一点,且满足
+
=t
(O为坐标原点),当|
-
|<
时,求实数t的取值范围?
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(它)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H,设m为椭圆C上一点,且满足
OG |
OH |
Om |
mG |
mH |
2
| ||
3 |
椭圆C:
+
=1(a>b>0),点A为左顶点,点B为上顶点,直线AB的斜率为
,又直线y=k(x-1)经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)将|MN|表示为k的函数;
(Ⅲ)线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P,又点Q(1,0),求证:
为定值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)将|MN|表示为k的函数;
(Ⅲ)线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P,又点Q(1,0),求证:
|PQ| |
|MN| |
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