当前位置:高中试题 > 数学试题 > 曲线与方程的应用 > 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),点A为左顶点,点B为上顶点,直线AB的斜率为32,又直线y=k(x-1)经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M,N....
题目
题型:不详难度:来源:
椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),点A为左顶点,点B为上顶点,直线AB的斜率为


3
2
,又直线y=k(x-1)经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)将|MN|表示为k的函数;
(Ⅲ)线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P,又点Q(1,0),求证:
|PQ|
|MN|
为定值.
答案
(Ⅰ)如图,

∵直线AB的斜率为


3
2

b
a
=


3
2

又直线y=k(x-1)经过椭圆C的一个焦点,
∴交点F(1,0).





c=1
b
a
=


3
2
a2=b2+c2
,解得a2=4,b2=3.
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)联立





y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2=
8k2
3+4k2
x1x2=
4k2-12
3+4k2

∴|MN|=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2

=


1+k2


(
8k2
3+4k2
)2-4•
4k2-12
3+4k2
=
12(1+k2)
3+4k2

(Ⅲ)证明:线段MN的中点的横坐标为
x1+x2
2
=
4k2
3+4k2
,纵坐标为k•(
4k2
3+4k2
-1)=
-3k
3+4k2

∴线段MN的垂直平分线方程为y+
3k
3+4k2
=k(x-
4k2
3+4k2
)

取y=0,得x=
k2
3+4k2

∴P(
k2
3+4k2
,0
),
则|PQ|=1-
k2
3+4k2
=
3(1+k2)
3+4k2

|PQ|
|MN|
=
3(1+k2)
3+4k2
12(1+k2)
3+4k2
=
1
4
为定值.
核心考点
试题【椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),点A为左顶点,点B为上顶点,直线AB的斜率为32,又直线y=k(x-1)经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M,N.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B、C,另有抛物线y=x2+b.
(Ⅰ)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若a=2,过点B作抛物线的切线,切点为P,直线PB与椭圆相交于另一点Q,求
|PQ|
|QB|
的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,A1、A2、F1、F2分别是双曲线C:
x2
9
-
y2
16
=1的左、右顶点和左、右焦点,M(x0、y0)是双曲线C上任意一点,直线MA2与动直线l:x=
9
x0
相交于点N.
(1)求点N的轨迹E的方程;
(2)点B为曲线E上第一象限内的一点,连接F1B交曲线E于另一点D,记四边形A1A2BD对角线的交点为G,证明:点G在定直线上.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的四个顶点为A1,A2,B1,B2,两焦点为F1,F2,若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2,切点分别为A,B,C,D,则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=(  )
A.


5
+1
2
B.2


5
-2
C.


5
+2
2
D.


5
-1
2

题型:不详难度:| 查看答案
已知双曲线的左右焦点F1,F2的坐标为(-4,0)与(4,0),离心率e=2.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知椭圆
x2
36
+
y2
20
=1
,点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点,求|PF1|•|PF2|的值.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.