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题目
题型:不详难度:来源:
平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)右焦点的直线x+y-


3
=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为
1
2

(Ⅰ)求M的方程
(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
答案
(Ⅰ)把右焦点(c,0)代入直线x+y-


3
=0得c+0-


3
=0,解得c=


3

设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点P(x0,y0),
x21
a2
+
y21
b2
=1
x22
a2
+
y22
b2
=1
,相减得
x21
-
x22
a2
+
y21
-
y22
b2
=0

x1+x2
a2
+
y1+y2
b2
×
y1-y2
x1-x2
=0

2x0
a2
+
2y0
b2
×(-1)=0
,又kOP=
1
2
=
y0
x0

1
a2
-
1
2b2
=0
,即a2=2b2
联立得





a2=2b2
a2=b2+c2
c=


3
,解得





b2=3
a2=6

∴M的方程为
x2
6
+
y2
3
=1

(Ⅱ)∵CD⊥AB,∴可设直线CD的方程为y=x+t,
联立





y=x+t
x2
6
+
y2
3
=1
,消去y得到3x2+4tx+2t2-6=0,
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点,
∴△=16t2-12(2t2-6)=72-8t2>0,解-3<t<3(*).
设C(x3,y3),D(x4,y4),∴x3+x4=-
4t
3
x3x4=
2t2-6
3

∴|CD|=


(1+12)[(x3+x4)2-4x3x4]
=


2[(-
4t
3
)
2
-4×
2t2-6
3
]
=
2


2


18-2t2
3

联立





x+y-


3
=0
x2
6
+
y2
3
=1
得到3x2-4


3
x=0,解得x=0或
4
3


3

∴交点为A(0,


3
),B(
4
3


3
,-


3
3
)

∴|AB|=


(
4
3


3
-0)
2
+(-


3
3
-


3
)
2
=
4


6
3

∴S四边形ACBD=
1
2
|AB||CD|
=
1
2
×
4


6
3
×
2


2


18-2t2
3
=
8


3


18-2t2
9

∴当且仅当t=0时,四边形ACBD面积的最大值为
8
3


6
,满足(*).
∴四边形ACBD面积的最大值为
8
3


6
核心考点
试题【平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(Ⅰ)求M】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为


2
2
,其左、右焦点分别为F1,F2,点P是坐标平面内一点,且|OP|=


7
2


PF1


PF2
=
3
4
(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过F1的直线L与该椭圆相交于M、N两点,且|


F1M
|=2|


F1N
|
,求直线L的方程.
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已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)问是否存在满足以下两个条件的直线l:①斜率为1;②直线被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆C1过原点.若存在这样的直线,请求出其方程;若不存在,说明理由.
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抛物线y2=2px(p>0),其准线方程为x=-1,过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点.
(Ⅰ)若点A为MB中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设抛物线的焦点为F,当AF⊥BF时,求△ABF的面积.
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的点P到左右两焦点F1,F2的距离之和为2


2
,离心率为


2
2

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点,若y轴上一点M(0,


3
7
)
满足|MA|=|MB|,求直线l的斜率k的值.
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如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点M(3


2


2
),椭圆的离心率e=
2


2
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B.若∠AMB的平分线与y轴平行,试探究直线AB的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.
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