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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点M(3


2


2
),椭圆的离心率e=
2


2
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B.若∠AMB的平分线与y轴平行,试探究直线AB的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.
答案
(1)∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点M(3


2


2
),椭圆的离心率e=
2


2
3






18
a2
+
2
b2
=1
c
a
=
2


2
3
a2=b2+c2
,解得





a2=36
b2=4,c2=32

因此椭圆方程为
x2
36
+
y2
4
=1

(2)设直线MA的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),
∵∠AMB的平分线与y轴平行,∴直线MA与MB的斜率互为相反数,
设直线MB的斜率为k,联立直线MA与椭圆方程:





y=kx+


2
-3


2
k
x2
36
+
y2
4
=1

整理得(9k2+1)x2+18


2
k(1-3k)x+162k2-108k-18=0

解得x1=
18


2
(3k2-k)
9k2+1
-3


2
x2=
18


2
(3k2+k)
9k2+1
-3


2

可得x2-x1=
36


2
k
9k2+1
x2+x1=
108


2
k2
9k2+1
-6


2

y2-y1=-k(x2+x1)+6


2
k=
-108k3
9k2+1
+12


2
k=
12


2
k
9k2+1

kAB=
y2-y1
x2-x1
=
12


2
k
9k2+1
36


2
k
9k2+1
=
1
3
为定值.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(32,2),椭圆的离心率e=223.(1)求椭圆C的方程;(2)过点M】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


3
2
,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求


TM


TN
的最小值,并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|•|OS|为定值.
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对于直线L:y=kx+1是否存在这样的实数,使得L与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=ax(a为常数)对称?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
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设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为-
1
2
,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>


3
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


3
2
,与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  )
A.
x2
8
+
y2
2
=1
B.
x2
12
+
y2
6
=1
C.
x2
16
+
y2
4
=1
D.
x2
20
+
y2
5
=1
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已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
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