抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x=-1，过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点．
（Ⅰ）若点A为MB中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设抛物线的焦点为F，当AF⊥BF时，求△ABF的面积． |
（本小题满分13分）
（Ⅰ）∵抛物线的准线方程为x=-1
∴=1，p=2-----------------------（1分）
∴抛物线的方程为y2=4x-----------------------（2分）
显然，直线l与坐标轴不平行
∴设直线l的方程为x=my-1，A(，y1)B(，y2)-----------------------（3分）
联立直线与抛物线的方程，得y2-4my+4=0-----------------------（4分）
△=16m2-16＞0，解得m＜-1或m＞1-----------------------（5分）
∵点A为MB中点，∴y1=，即y2=2y1
∴y1y2=2y12=4，解得y1=±-----------------------（6分）
y1+y2=4m，∴4m=+2或4m=--2
∴m=±-----------------------（7分）
直线方程为4x-3y+4=0或4x+3y+4=0．-----------------------（8分）
（Ⅱ）焦点F（1，0），=(-1，y1)，=(-1，y2)
∵AF⊥BF | | •=•--+1+y1y2 | | =-+1+y1y2 | | =8-=0 |
| |
∴(y1+y2)2=32-----------------------（11分）
| | S△ABF=S△MBF-S△AMF=|MF|•|y2|-|MF|•|y1| | | =|y2|-|y1|==4 |
| |
-----------------------（13分） |
核心考点
试题【抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x=-1，过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点．（Ⅰ）若点A为MB中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设抛物线的焦】；主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
[详细]举一反三
已知椭圆+=1(a＞b＞0)上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值． |
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（3，），椭圆的离心率e=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．
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如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求•的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．
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| 对于直线L：y=kx+1是否存在这样的实数，使得L与双曲线C：3x2-y2=1的交点A，B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求k的值；若不存在，说明理由． |
设椭圆+=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞． |
