题目

题型：不详难度：来源：

如图，在正方形中，是边上的中点，与相交于点，连接.(注：正方形的四边相等，四个角都是直角，每一条对角线平分一组对角). 
(1) 在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）
(2) 连接试判断与的位置关系,并证明你的结论．
(3)延长交于点,试判断与的数量关系，并说明理由．

答案

（1）△ABC≌△ADC，△ABF≌△ADF，△BCF≌△DCF；（2）AE⊥DF；（3）BM=MC．

解析

试题分析：（1）根据正方形的性质得到相关的条件即可找出全等的三角形；
（2）可证△BCF≌△DCF得∠CBF=∠CDF，再证△ADE≌△BCE得∠DAE=∠CBE，故∠DAE=∠CDF，又∠DAE+∠AED=90°，则∠CDF +∠AED=90°，即AE⊥DF；
（3）可证△DCM≌△BCE得CE=CM，又CE=CD，CD=BC，故CM=BC，即BM=MC．
（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF；
（2）AE⊥DF．
证明：设AE与DF相交于点H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
又∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF．
∴∠1=∠2．
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，
∴△ADE≌△BCE．
∴∠3=∠4．
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHD=90°．
∴AE⊥DF；
（3）如图所示：

∵∠ADE=90°，AE⊥DF．
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5．
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，
∴△DCM≌△BCE．
∴CE=CM，
又∵E为CD中点，且CD=CB，
∴CE=CD=BC，
∴CM=CB，即M为BC中点，
∴BM=MC．
点评：解答本题的关键是充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件，在判定全等后利用全等三角形的性质解题．