已知抛物线的顶点在原点，焦点F与双曲线x2-y24=1的右顶点重合．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l经过焦点F，且倾斜角为60°，与抛物线交于A、B两点，求 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线的顶点在原点，焦点F与双曲线x2-

=1的右顶点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线l经过焦点F，且倾斜角为60°，与抛物线交于A、B两点，求：弦长|AB|．

答案

（1）双曲线x2-

=1的右顶点为（1，0），
∵抛物线的焦点F与双曲线x2-

=1的右顶点重合，
∴F（1，0）．
设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0）
∴

=1，∴p=2，
∴抛物线方程是 y²=4x；
（2）直线l方程为y=

（x-1），代入方程y²=4x，得3（x-1）²=4x，化简得3x²-10x+3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=

，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=

．

核心考点

试题【已知抛物线的顶点在原点，焦点F与双曲线x2-y24=1的右顶点重合．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l经过焦点F，且倾斜角为60°，与抛物线交于A、B两点，求】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=

，|CD|=2-

，AC⊥BD．M为CD的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ₀，使

=λ₀

，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过（0，

）的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

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已知直线y=k（x+2）与双曲线

=1，有如下信息：联立方程组：

y=k(x+2)

消去y后得到方程Ax²+Bx+C=0，分类讨论：
（1）当A=0时，该方程恒有一解；
（2）当A≠0时，△=B²-4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．（1，

]

B．[

，+∞）

C．（1，2]

D．[2，+∞）

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已知F₁，F₂是椭圆

=1的两焦点，过点F₂的直线交椭圆于A，B两点，在△AF₁B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．

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已知点P(-1，

)是椭圆E：

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足

=λ

（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为

？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

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双曲线与椭圆

=1有相同焦点，且经过点(

，4)，则双曲线的方程为（　　）

A．

B．

C．

D．

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