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题目
题型:不详难度:来源:
如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,|AB|=
4


2
3
,|CD|=2-
4


2
3
,AC⊥BD.M为CD的中点.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数λ0,使


MP
0


PN
,且P点到A、B的距离和为定值,求点P的轨迹E的方程;
(Ⅲ)过(0,
1
2
)的直线与轨迹E交于P、Q两点,求△OPQ面积的最大值.
答案
(Ⅰ)设点M的坐标为M(x,y)(x≠0),则 C(x,y-1+
2


2
3
),D(x,y+1-
2


2
3

又A(0,
2


2
3
),B(0,-
2


2
3
),由AC⊥BD有


AC


BD
=0,即(x,y-1)•(x,y+1)=0,
∴x2+y2=1(x≠0).(4分)
(Ⅱ)设P(x,y),则M((1+λ0)x,y),代入M的轨迹方程(1+λ02 x2+y2=1(x≠0)
x2
(
1
1+λ0
)2
+y2=1
(x≠0),
∴P的轨迹为椭圆(除去长轴的两个端点).
要P到A、B的距离之和为定值,则以A、B为焦点,故1+
1
(1+λ0)2
=(
2


2
3
)2

∴λ0=2,
∴所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0).…(9分)
(Ⅲ)易知l的斜率存在,设方程为y=kx+
1
2
,代入椭圆方程可得(9+k2)x2+kx-
3
4
=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-
k
9+k2
,x1x2=-
3
4(9+k2)

∴|x1-x2|=


(x1+x2)2-4x1x2
=


4k2+27
(9+k2)2

令t=k2+9,则|x1-x2|=


4t-9
t2
且t≥9.
∴S△OPQ=
1
2
1
2
|x1-x2|=
1
4


-9(
1
t
-
2
9
)2+
4
9

∵t≥9,
∴0
1
t
1
9

∴当
1
t
=
1
9
,即t=9也即k=0时,△OPQ面积取最大值,最大值为


3
12
.…(12分)
核心考点
试题【如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,|AB|=423,|CD|=2-423,AC⊥BD.M为CD的中点.(Ⅰ)求点M的轨迹方程;(Ⅱ)过M】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知直线y=k(x+2)与双曲线
x2
m
-
y2
8
=1,有如下信息:联立方程组:





y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:
(1)当A=0时,该方程恒有一解;
(2)当A≠0时,△=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是(  )
A.(1,


3
]
B.[


3
,+∞)
C.(1,2]D.[2,+∞)
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已知F1,F2是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为______.
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已知点P(-1,
3
2
)
是椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A、B是椭圆E上两个动点,是否存在λ,满足


PA
+


PB


PO
(0<λ<4,且λ≠2),且M(2,1)到AB的距离为


5
?若存在,求λ值;若不存在,说明理由.
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双曲线与椭圆
x2
27
+
y2
36
=1
有相同焦点,且经过点(


15
,4)
,则双曲线的方程为(  )
A.
x2
4
-
y2
5
=1
B.
y2
5
-
x2
4
=1
C.
y2
4
-
x2
5
=1
D.
x2
5
-
y2
4
=1
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已知抛物线C:y2=12x,点M(-1,0),过M的直线l交抛物线C于A,B两点.
(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标等于2,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,求证:直线A′B过定点.
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