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题目
题型:不详难度:来源:
如图,直线y=kx+b与椭圆
x2
4
+y2
=1交于A,B两点,记△AOB的面积为S.
(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
答案
(Ⅰ)设点A的坐标为(x1,b),点B的坐标为(x2,b),
x2
4
+b2=1
,解得x1,2=±2


1-b2

所以S=
1
2
b•|x1-x2|
=2b•


1-b2
≤b2+1-b2=1.
当且仅当b=


2
2
时,S取到最大值1.

(Ⅱ)由





y=kx+b
x2
4
+y2=1

(k2+
1
4
)x2+2kbx+b2-1=0
,①
△=4k2-b2+1,
|AB|=


1+k2
•|x2-x1|
=


1+k2


4k2-b2+1
1
4
+k2
=2
.②
设O到AB的距离为d,则d=
2S
|AB|
=1

又因为d=
|b|


1+k2

所以b2=k2+1,代入②式并整理,得k4-k2+
1
4
=0

解得k2=
1
2
b2=
3
2
,代入①式检验,△>0,
故直线AB的方程是y=


2
2
x+


6
2
y=


2
2
x-


6
2
y=-


2
2
x+


6
2
,或y=-


2
2
x-


6
2
核心考点
试题【如图,直线y=kx+b与椭圆x24+y2=1交于A,B两点,记△AOB的面积为S.(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;(Ⅱ)当|AB|=2,S=1】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
F1,F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右焦点,Q是双曲线上动点,从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则P点的轨迹是(  )的一部分.
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
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已知点F是双曲线C:x2-y2=2的左焦点,直线l与双曲线C交于A、B两点,
(1)若直线l过点P(1,2),且


OA
+


OB
=2


OP
,求直线l的方程.
(2)若直线l过点F且与双曲线的左右两支分别交于A、B两点,设


FB


FA
,当λ∈[6,+∞)时,求直线l的斜率k的取值范围.
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如图,已知抛物线C:x2=2py(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A、B两点,且


OA


OB
=0
(O为坐标原点),直线l与圆O相切,切点在劣弧AB(含A、B两点)上,且与抛物线C相交于M、N两点,d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求d的最大值,并求d取得最大值时直线l的方程.
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如图,抛物线顶点在原点,圆x2+y2=4x的圆心是抛物线的焦点,直线l过抛物线的焦点,且斜率为2,直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点.

(1)求抛物线的方程.
(2)求|AB|+|CD|的值.
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如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.

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