题目

题型：福建省期中题难度：来源：

已知函数f（x）=αx-lnx.(α为常数)
（1 ）当α=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）求函数f（x）在[1,+∞)上的最值；
（3）试证明对任意的n∈N*都有．

答案

解（1）当时，函数=，
∵，令得          
∵当时，  
∴函数在上为减函数
∵当时  
∴函数在上为增函数
∴当时，函数有最小值，      
（2 ）∵，则对任意的都有，
∴函数在上为减函数
∴函数在上有最大值，没有最小值，；
若，令得
当时，，
当时，函数在上为减函数当时 
  ∴函数在上为增函数
∴当时，函数有最小值，  
当时，在恒有
∴函数在上为增函数，函数在有最小值，.  
综上得：当时，函数在上有最大值，，没有最小值；
当时，函数有最小值，，没有最大值；
当时，函数在有最小值，，没有最大值． 
(3)由（1）知函数=在上有最小值1
即对任意的都有，即，  
当且仅当时“＝"成立
∵       ∴且
∴
∴对任意的都有．