当前位置:高中试题 > 数学试题 > 曲线与方程的应用 > 已知椭圆C与双曲线x22-y26=1有相同焦点F1和F2,过F1的直线交椭圆于A、B两点,△ABF2的周长为83.若直线y=t(t>0)与椭圆C交于不同的两点E...
题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆C与双曲线
x2
2
-
y2
6
=1
有相同焦点F1和F2,过F1的直线交椭圆于A、B两点,△ABF2的周长为8


3
.若直线y=t(t>0)与椭圆C交于不同的两点E、F,以线段EF为直径作圆M.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若圆M与x轴相切,求圆M被直线x-


3
y+1=0
截得的线段长.
答案
(1)由题意可设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),半焦距为c.
∵椭圆C与双曲线
x2
2
-
y2
6
=1
有相同焦点,∴c=


2+6
=2


2

∵△ABF2的周长为8


3
,∴|AB|+|AF2|+|BF2|=8


3
,∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8


3

由椭圆的定义可得4a=8


3
,解得a=2


3

∴b2=a2-c2=4.
∴椭圆C的方程为
x2
12
+
y2
4
=1

(2)联立





y=t
x2
12
+
y2
4
=1
,解得





x=±


12-3t2
y=t

不妨设E(-


12-3t2
,t)
,F(


12-3t2
,t)

∵以线段EF为直径所作的圆M与x轴相切,∴r=t=


12-3t2
,解得t=


3

∴圆心为(0,


3
).
∴圆M的方程为x2+(y-


3
)2=3

圆心(0,


3
)到直线x-


3
y+1=0
的距离d=
|0-3+1|


1+(


3
)2
=1.
∴圆M被直线x-


3
y+1=0
截得的线段长=2


r2-d2
=2


3-1
=2


2
核心考点
试题【已知椭圆C与双曲线x22-y26=1有相同焦点F1和F2,过F1的直线交椭圆于A、B两点,△ABF2的周长为83.若直线y=t(t>0)与椭圆C交于不同的两点E】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
若椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距为2


5
,且过点(-3,2),⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x-8)2+(y-6)2=4,过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB,切点为A、B.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线PA与⊙M的另一交点为Q,当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程;
(3)求


OA


OB
的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知点B(0,1),A,C为椭圆C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)上的两点,△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.
(1)△ABC能否为等腰三角形?若能,这样的三角形有几个?
(2)当a=2时,求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点,以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是(  )
A.相交B.相切
C.相离D.与p的取值相关
题型:不详难度:| 查看答案
已知点F(1,0),直线L:x=-1,P为平面上的动点,过点P作直线L的垂线,垂足为Q,且


QP


QF
=


FP


FQ

(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有


FA


FB
<0
?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x,且过点D(


2


3
)
.l1,l2是过点P(-


2
,0)
的两条互相垂直的直线,且l1,l2与双曲线各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2
(1)求双曲线的方程;
(2)求l1斜率的范围
(3)若|A1B1|=


5
|A2B2|
,求l1的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.