题目

题型：不详难度：来源：

（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，
求面积的最大值．

答案

（1）（2）

解析

试题分析：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以，                                     1分
又椭圆的离心率为，即，所以，        2分
所以，.                                        4分
所以，椭圆的方程为.                      5分
（Ⅱ）不妨设的方程，则的方程为.
由得，            6分
设，，因为，所以， 7分
同理可得，                                     8分
所以，，          10分
，                       12分
设，则，                 13分
当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.
点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路