题目
题型:不详难度:来源:
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
(2)如图,已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为,到直线的距离为,求证:为定值;
(3)由抛物线弧:()与第(1)小题椭圆弧:()所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点,,且(),试用表示;并求的取值范围.
答案
(2)利用;
(3)的取值范围是.
解析
试题分析:(1)由的周长为得,
椭圆与双曲线:有相同的焦点,所以,
即,,椭圆的方程; 4分
(2)证明:设“盾圆”上的任意一点的坐标为,. 5分
当时,,,
即; 7分
当时,,,
即; 9分
所以为定值; 10分
(3)显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方(或轴上):
当时,,此时,; 11分
当时,在椭圆弧上,
由题设知代入得,
,
整理得,
解得或(舍去). …12分
当时在抛物线弧上,
由方程或定义均可得到,于是,
综上,()或();
相应地,, 14分
当时在抛物线弧上,在椭圆弧上,
; 15分
当时在椭圆弧上,在抛物线弧上,
; 16分
当时、在椭圆弧上,
; 17分
综上的取值范围是. 18分
点评:难题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时,主要运用了椭圆的定义及椭圆、双曲线的几何性质。(2)通过研究圆与圆的位置关系,证明了“定值”。(3)通过将点的坐标代入椭圆方程确定得到,利用三角函数性质,进一步确定得到步骤的范围。
核心考点
试题【(1)设椭圆:与双曲线:有相同的焦点,是椭圆与双曲线的公共点,且的周长为,求椭圆的方程; 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.() | B.() |
C.() | D.() |
A. | B. |
C. | D.不确定 |
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