题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．(Ⅰ）求抛物线的方程；
(Ⅱ）动直线恒过点与抛物线交于A、B两点，与轴交于C点，请你观察并判断：在线段MA，MB，MC，AB中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明．

答案

（Ⅰ）  （Ⅱ）存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列.

解析

试题分析：（Ⅰ）∵椭圆方程为：，∴，
所以，椭圆的右焦点为（1 , 0），抛物线的焦点为（，0），所以＝2，
则抛物线的方程为 
（Ⅱ）设直线l：，则C（－，0）， 
由　得，
因为△＝，所以k＜1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，
所以由弦长公式得：，，，
，
通过观察得：＝()·＝()·＝.
若＝，则，不满足题目要求.
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列.
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查抛物线的方程，考查直线与武平县的位置关系，考查韦达定理的运用，考查等比数列的判定，属于中档题．