题目

题型：不详难度：来源：

平面内动点到点的距离等于它到直线的距离，记点的轨迹为曲．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若点，，是上的不同三点，且满足．证明： 不可能为直角三角形．

答案

（1）
（2）利用向量的关系式来得到坐标关系式，然后借助于反证法来说明不成立。

解析

试题分析：解法一：（Ⅰ）由条件可知，点到点的距离与到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为．   4分
（Ⅱ）假设是直角三角形，不失一般性，设，
，，，则由，
，，
所以．          6分
因为，，，
所以．           8分
又因为，所以，，
所以．  ①
又，
所以，即． ②   10分
由①，②得，所以． ③
因为．
所以方程③无解，从而不可能是直角三角形．       12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设，，，由，
得，．           6分
由条件的对称性，欲证不是直角三角形，只需证明．
当轴时，，，从而，，
即点的坐标为．
由于点在上，所以，即，
此时，，，则．    8分
当与轴不垂直时，
设直线的方程为：，代入，
整理得：，则．
若，则直线的斜率为，同理可得：．
由，得，，．
由，可得．
从而，
整理得：，即，①
．
所以方程①无解，从而．           11分
综合，， 不可能是直角三角形．         12分
点评：本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等