题目
题型:临沂模拟难度:来源:
(1)求曲线C的方程;
(2)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于点P,且与曲线C相交于A、B两点的直线,且|
. |
OP |
. |
AP |
. |
PB |
答案
那么点M(x,y)满足
(x-1)2+y2 |
化简,得y2=4x(x>0).…(3分)
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
假设使
AP |
PB |
①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且|
OA |
得
|m| | ||
|
∴
AP |
PB |
OP |
∴
OA |
OB |
OP |
PA |
OP |
PB |
=
OP2 |
OP |
PB |
PA |
OP |
PA |
PB |
=1+0+0-1=0,
即x1x2+y1y2=0.…(6分)
将y=kx+m代入方程y2=4x,
得k2x2+(2km-4)x+m2=0.…(7分)
∵l与C有两个交点,
∴k≠0,x1+x2=
4-2km |
k2 |
m2 |
k2 |
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km (x1+x2)+m2=0.③…(8分)
将②代入③得(1+k2)•
m2 |
k2 |
4-2km |
k2 |
化简,得m2+4km=0.…(9分)
∵|
OP |
∴m≠0 ①∴m+4k=0 ④
由①、④得
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|
得存在两条直线l满足条件,其方程为:y=
| ||
15 |
4
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15 |
| ||
15 |
4
| ||
15 |
②当l垂直于x轴时,则n为x轴,P点坐标为(1,0),A(1,2),B(1,-2).
∴
AP |
PB |
∴
AP |
PB |
不合题意.
综上,符合题意的直线l有两条:y=
| ||
15 |
4
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15 |
| ||
15 |
4
| ||
15 |
注:第Ⅱ问设l的方程为x=ly+m,联立y2=4x建立y的一元二次方程更简单,且不需讨论.
核心考点
试题【已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于点P,且】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)准线是y轴;
(2)顶点在x轴上;
(3)点A(3,0)到此抛物线上动点P的距离最小值是2.
1 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设Q为曲线C上的一个动点,点B,C在y轴上,若△QBC为圆(x-1)2+y2=1的外切三角形,求△QBC面积的最小值.
A.6 | B.2+4
| C.2
| D.4+2
|
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