题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
答案
解析
设B(x,y),则x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.
因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)方法一:由(1)知y=x2,y′=x.
设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.
由,得.
所以Q(,-1).
设M(0,y1),令·=0对满足y0= (x0≠0)的点(x0,y0)恒成立.
由于=(x0,y0-y1),=(,-1-y1),
由·=0,得-y0-y0y1+y1+=0,
即(+y1-2)+(1-y1)y0=0 (*).
由于(*)式对满足y0= (x0≠0)的y0恒成立,
所以,解得y1=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).
核心考点
试题【如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.圆 | B.椭圆 | C.双曲线 | D.抛物线 |
A.y2=2x | B.y2=4x |
C.y2=x | D.y2=x |
(1)求点P的轨迹T的方程;
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.
(1)求曲线C1和C2的方程;
(2)设点C是C2上一点,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面积.
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