题目

题型：河南省期中题难度：来源：

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）设P（1，2），是否存在平行于OP（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OP与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）∵椭圆的右焦点F（1，0），
∴=1，p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x，
其准线方程为x=﹣1．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2x+b，
由，得y²﹣2y+2b=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4﹣8b≥0，即b≤，
∵直线OP与l的距离d=，
∴，即b=±1．
从而b=﹣1．
 ∴符合题意的直线l存在，其方程为y=2x﹣1．