题目
题型:普陀区一模难度:来源:
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)某学习小组在计算机动态数学软件的帮助下,得到了关于抛物线C性质的如下猜想:“直线AN和BM恒相交于原点O”,试证明该结论是正确的;
(3)该小组孩项研究抛物线C中∠AEB的大小范围,试通过计算
EA |
EB |
答案
∵抛物线C过点P(4,4)∴p=2
∴y2=4x
(2)当 x1≠x2时,kOA=kON,所以此时A、O、N三点共线;当 x1=x2时,不难得到ABNM为矩形,且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点,所以此时A、O、N三点共线.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB过焦点F且F(1,0),
当 x1≠x2时,AB所在的直线的方程y=k(x-1),k≠0,代入抛物线方程可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以
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当 x1=x2时,AB所在的直线垂直于x轴,不难求得AF=EF=EB=2,故此时∠AEB=90°
综上,可提出推论“∠AEB只能是锐角或直角”
核心考点
试题【顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线C过点P(4,4).过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B亮点,点M和N分别为A、B两点在抛物线准线l上的射影.准线l与x轴的交】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点,点P关于原点的对称点Q,若m<0,求使得△QAB面积最大的m的值;
(3)设过P点的直线交抛物线C于M、N两点,是否存在这样的点P,使得
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