已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．（1）求抛物线的方程；（2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的对称点Q，若m＜0，求使得△QAB面积最大的m的值；
（3）设过P点的直线交抛物线C于M、N两点，是否存在这样的点P，使得

|PM|

|PN|

为定值？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

答案

（1）设抛物线C的方程是x²=ay，
则

=1，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x²=4y．
（2）y=x+m代入x²=4y，得
x²-4x-4m=0，
|AB|=

|x2-x1| =4

2(1+m)

，
∴S△QAB=-4m

m+1

m3+m2

(m＜0)

核心考点

试题【已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．（1）求抛物线的方程；（2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的】；主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]

举一反三

m＜-

＜m＜0

3m²+2m

小莉与小明一起用A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y=-x²+4x上的概率为（　　）

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A．

B．

C．

D．

与抛物线y²=2x关于点（-1，0）对称的抛物线方程是______．

抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m，-3）到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是（）

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热门考点

A．y=4

B．y=-4

C．y=2

D．y=-2

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，2）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．

已知点M（-8，0），点P，Q分别在x，y轴上滑动，且

⊥

，若点N为线段PQ的中点．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）点H（-1，0），过点H做直线l交曲线C于A，B两点，且

=λ

（λ＞1），点A关于x轴的对称点为D，已知点F（1，0），求证：

=-λ

；
（3）过点F（1，0）的直线交曲线C于E，K两点，点E关于x轴的对称点为G，求证：直线GK过定点，并求出定点坐标．