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题目
题型:湛江二模难度:来源:
已知抛物线方程y2=mx(m∈R,且m≠0).
(Ⅰ)若抛物线焦点坐标为(1,0),求抛物线的方程;
(Ⅱ)若动圆M过A(2,0),且圆心M在该抛物线上运动,E、F是圆M和y轴的交点,当m满足什么条件时,|EF|是定值.
答案
(Ⅰ)依题意:
p
2
=1
.(2分)
∴p=2∴所求方程为y2=4x.(4分)
(Ⅱ)设动圆圆心为M(a,b),(其中a≥0),E、F的坐标分别为(0,y1),(0,y2
因为圆M过(2,0),
故设圆的方程(x-a)2+(y-b)2=(a-2)2+b2(6分)
∵E、F是圆M和y轴的交点
∴令x=0得:y2-2by+4a-4=0(8分)
则y1+y2=2b,y1•y2=4a-4
|EF|=


(y1-y2)2
=


(y1+y2)2-4y1y2
=


4b2-16a+16
(10分)
又∵圆心M(a,b)在抛物线y2=mx上
∴b2=ma(11分)
|EF|=


4ma-16a+16
=


4a(m-4)+16
.(12分)
∴当m=4时,|EF|=4(定值).(14分)
核心考点
试题【已知抛物线方程y2=mx(m∈R,且m≠0).(Ⅰ)若抛物线焦点坐标为(1,0),求抛物线的方程;(Ⅱ)若动圆M过A(2,0),且圆心M在该抛物线上运动,E、F】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴上,且过点(1,2).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)命题:“过椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
的一个焦点F1作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则
|AB|
|F1M|
为定值,且定值是
10
3
”.命题中涉及了这么几个要素:给定的圆锥曲线T,过该圆锥曲线焦点F1的弦AB,AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M,AB的长度与F1、M两点间距离的比值.试类比上述命题,写出一个关于抛物线C的类似的正确命题,并加以证明.
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于抛物线的一般性命题(不必证明).
题型:福建模拟难度:| 查看答案
已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为4x+y-20=0.
(1)求抛物线方程;
(2)轴上是否存在定点M,使过M的动直线与抛物线交于P,Q两点,满足∠POQ=90°?证明你的结论.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
4
+
y2
3
=1
的右焦点为F,左顶点为A,点P为曲线D上的动点,以PF为直径的圆恒与y轴相切.
(Ⅰ)求曲线D的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的△APM?①点M在椭圆C上;②点O为APM的重心.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形ABC的三点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心G的坐标为(
x1+x2+x3
3
y1+y2+y3
3
))
题型:郑州二模难度:| 查看答案
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=4.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ) 设点A(x1,y1),B(x2,y2)(yi≤0,i=1,2)是抛物线上的两点,∠APB的角平分线与x轴垂直,求△PAB的面积最大时直线AB的方程.
题型:浙江模拟难度:| 查看答案
若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的准线方程为(  )
题型:济南一模难度:| 查看答案
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A.x=-2B.x=4C.x=-8D.y=-4