椭圆焦点在x轴，离心率为32，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

椭圆焦点在x轴，离心率为

，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

答案

设椭圆方程

=1（a＞b＞0），
∵e=

，∴a²=4b²，即a=2b．
∴椭圆方程为

4b2

=1．
把直线方程代入化简得5x²-8x+4-4b²=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则
x₁+x₂=

，x₁x₂=

（4-4b²）．
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=

（1-4b²）．
由于OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
解得b²=

，a²=

．
∴椭圆方程为

x²+

y²=1．

核心考点

试题【椭圆焦点在x轴，离心率为32，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．】；主要考察你对双曲线等知识点的理解。[详细]

举一反三

双曲线

-y²=1（n＞1）的两个焦点为F₁，F₂，P在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2

n+2

，则△PF₁F₂的面积为______．

题型：安徽模拟难度：| 查看答案

A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．

题型：不详难度：| 查看答案

设双曲线

（a＞0，b＞0）的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则|OP|²与|OQ|•|OR|的大小关系为（　　）

题型：黄冈模拟难度：| 查看答案

题型：长宁区二模难度：| 查看答案

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热门考点

A．|OP|²＜|OQ|•|OR|

B．|OP|²＞|OQ|•|OR|

C．|OP|²=|OQ|•|OR|

D．不确定

已知双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F₂（2，0），且b=

a．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F₂的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）²-y²=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

已知双曲线x²-

=1，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．