题目
题型:长宁区二模难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
(1)求双曲线C的方程;
(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支相交于A,B不同的两点时,求实数m的取值范围;并证明AB中点M在曲线3(x-1)2-y2=3上.
(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点,问是否存在实数m,使得∠AOB为锐角?若存在,请求出m的范围;若不存在,请说明理由.
答案
∴4=a2+3a2∴a2=1,b2=3,∴双曲线为x2-
y2 |
3 |
(2)l:m(x-2)+y=0由
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由△>0得4m4+(3-m2)(4m2+3)>012m2+9-3m2>0即m2+1>0恒成立
又
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4m2 |
m2-3 |
4m2+3 |
m2-3 |
∴m2>3∴m∈(-∞,-
3 |
3 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2 |
2 |
2m2 |
m2-3 |
y1+y2 |
2 |
2m3 |
m2-3 |
-6m |
m2-3 |
∴AB中点M(
2m2 |
m2-3 |
6m |
m2-3 |
∵3(
2m2 |
m2-3 |
36m2 |
(m2-3)2 |
(m2+3)2 |
(m2-3)2 |
36m2 |
(m2-3)2 |
m4+6m2+9-12m2 |
(m2-3)2 |
∴M在曲线3(x-1)2-y2=3上.
(3)A(x1,y1),B(x2,y2),设存在实数m,使∠AOB为锐角,则
OA |
OB |
∴x1x2+y1y2>0
因为y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2
∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0
∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0即7m2+3-12m2>0
∴m2<
3 |
5 |
∴不存在
核心考点
试题【已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0),且b=3a.(1)求双曲线C的方程;(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为】;主要考察你对双曲线等知识点的理解。[详细]
举一反三
y2 |
2 |