题目

题型：0103 月考题难度：来源：

已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，焦点F₁、F₂在x轴上，双曲线C的右支上一点A使且△F₁AF₂的面积为1，
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

答案

解：（1）由题意，设双曲线的标准方程为，
由已知得：，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∴b=1，a=2，
∴双曲线C的标准方程为。
（2）设，
联立 ，
显然，
否则直线l与双曲线C只有一个交点，
，
则，
又，
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2，0)，
∴，
∴，
∴，
化简整理得，
∴，且均满足，
当时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当时，直线l的方程为，直线过定点（，0）；
∴直线l定点，定点坐标为（，0）。