题目

题型：北京同步题难度：来源：

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

答案

解：（1）设双曲线方程为
由，同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，），
∴渐近线斜率为：
∴|AB|²=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）²|AB|，∴
∴
可得：，
而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan
∴；
∴∴
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，c=b，
∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），
代入双曲线方程得：15x²﹣32bx+84b²=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
4=，16=﹣，
∴b²=9，所求双曲线方程为：﹣=1．