题目

题型：不详难度：来源：

已知点P是圆O：x²+y²=3上动点，以点P为切点的切线与x轴相交于点Q，直线OP与直线x=1相交于点N，若动点M满足：

NM

∥

OQ

，

QM

•

OQ

=0，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F（2，0）的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点A，B，设

AF

=λ

FB

，问在x轴上是否存在定点E，使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由．

答案

（1）设点M的坐标为（x，y），相应的点P的坐标为（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=3，
直线PQ的方程为：x₀x+y₀y=3，所以点Q的坐标为(

3

x0

，0)，
直线OP的方程为：y=

y0

x0

x，所以点N的坐标为(1，

y0

x0

)，
因此：

x= 3 x0 y= y0 x0

，
即：

x0= 3 x y0= 3y x

，
所以曲线C的方程为：
(

3

x

)2+(

3y

x

)2=3，
即

x2

3

-

y2

1

=1；
（2）设存在定点E（t，0）使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)，
设直线AB的方程为：x=my+2（m≠0），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

AF

=λ

FB

得到-y₁=λy₂，
即λ=-

y1

y2

，

EA

-λ

EB

=(x1-t-λx2+λt，  y1-λy2)，

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)得到：x1-t=λ(x2-t)⇒x1-t=-

y1

y2

(x2-t)，
即：（my₁+2-t）y₂+y₁（my₂+2-t）=0，
即2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0（1）
由方程组：

x=my+2 x2 3 -y2=1

得到：（my+2）²-3y²=3，
即（m²-3）y²+4my+1=0，
所以：m²-3≠0，且y1+y2=

-4m

m2-3

，y1y2=

1

m2-3

，
代入（1）式得到：

2m

m2-3

+

(t-2)4m

m2-3

=0，
要对满足（m≠0）且m²-3≠0的实数m恒成立，
只需要2+（t-2）×4=0，即t=

3

2

，
所以存在定点E(

3

2

，0)使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)．