题目
题型:广东省高考真题难度:来源:
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
答案
当y=b+2得x=±4,∴G点的坐标为(4,b+2),
,
过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4即y=x+b-2,
令y=0得x=2-b,
∴F1点的坐标为(2-b,0),
由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0),
∴2-b=b即b=1,
即椭圆和抛物线的方程分别为和;
(2)∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,
∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个,
同理以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个。
若以∠PAB为直角,设P点坐标为,A、B两点的坐标分别为,
由得,
关于x2的一元二次方程有一解,
∴x有二解,即以∠APB为直角的Rt△ABP有二个;
因此抛物线上共存在4个点使△ABP为直角三角形.
核心考点
试题【设b>0,椭圆方程为,抛物线方程为x2=8(y-b).如图所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的离心率;
(2)过F2作于OM垂直的直线交椭圆于点P、Q,若,求椭圆的方程。
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