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题目
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已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且ABl.
(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(Ⅱ)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
答案
(Ⅰ)因为ABl,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=x.
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).





x2+3y2=4
y=x
得x=±1.
所以|AB|=


2
|x1-x2|=2


2

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离.
所以h=


2
,S△ABC=
1
2
|AB
|•h=2.

(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m,





x2+3y2=4
y=x+m
得4x2+6mx+3m2-4=0.
因为A,B在椭圆上,
所以△=-12m2+64>0.
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=-
3m
2
,x1x2=
3m2-4
4

所以|AB|=


2
|x1-x2|=


32-6m2
2

又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=
|2-m|


2

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11.
所以当m=-1时,AC边最长,(这时△=-12+64>0)
此时AB所在直线的方程为y=x-1.
核心考点
试题【已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;(Ⅱ)当∠A】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
椭圆8x2+3y2=24的焦点坐标为(   )
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A.(0,±B.(±,0)C.(0,±D.(+,0)
已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为(   )
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A.B.C.+y2=1 D.+y2=1
设a>0,则椭圆x2+2y2=2a的离心率是(   )
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A.B.
C.D.与a的取值有关
(1)焦点在x轴上的椭圆,短轴上的一个端点与两个焦点为同一个正三角形的顶点,焦点与椭圆上点的最近距离为


3
,求椭圆标准方程.
(2)已知双曲线与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1公共焦点,且以y=±
4
3
x为渐近线,求双曲线方程.
椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)与直线x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点.
(1)求
1
a2
+
1
b2
的值;
(2)若椭圆的离心率e满足


3
3
≤e≤


2
2
,求椭圆长轴的取值范围.