题目

题型：不详难度：来源：

已知点P（x，y）为椭圆

x2

4

+y2=1上一点，F₁、F₂为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF₁F₂面积的最大值为

2

；②若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF₁Q的周长为8；③若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有

|PF2|+|QF2|

|PF2|•|QF2|

=4；对定点A(

3

2

，

1

2

)，则|

PA

|+|

PF2

|的取值范围为[4-

7

，4+

7

．其中正确结论的番号是______．

答案

①△PF₁F₂面积S=

1

2

|F₁F₂|•|y|=

3

|y|，所以当|y|取最大值时，△PF₁F₂面积最大，所以点P为椭圆短轴端点时，|y|取最大值，此时y=±1，即△PF₁F₂面积的最大值S=

3

，故①错误；
②∵P，Q在椭圆上，F₁、F₂为椭圆左、右焦点
∴△PF₁Q的周长为2a+2a=4a，
∵a=2
∴△PF₁Q的周长为8，
故②正确；
③斜率存在时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程为：y=k（x-

3

）
代入椭圆方程

x2

4

+y2=1得：(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0
∴x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

12k2-4

1+4k2

根据椭圆的第二定义可得：

|PF2|

a2 c -x1

=

c

a

，

|QF2|

a2 c -x2

=

c

a

∴|PF₂|=a-ex₁，|QF₂|=a-ex₂
∴

|PF2|+|QF2|

|PF2|•|QF2|

=

1

|PF2|

+

1

|QF2|

=

1

a-ex1

 +

1

a-ex2

=

2a-e(x1+x2)

(a-ex1)(a-ex2)

=

2a-e(x1+x2)

a2-ae(x1+x2)+e2x1x2

∵a=2，e(x1+x2)=

3

2

×

8 3 k2

1+4k2

=

12k2

1+4k2

，ae(x1+x2)=

24k2

1+4k2

，e2x1x2=

3

4

×

12k2-4

1+4k2

= 

9k2-1

1+4k2

∴

|PF2|+|QF2|

|PF2|•|QF2|

=4
当斜率不存在时，|PF2|=|QF2|=

1

2

，∴

|PF2|+|QF2|

|PF2|•|QF2|

=4，故③正确；

④∵定点A(

3

2

，

1

2

)在椭圆

x2

4

+y2=1的内部，点P（x，y）为椭圆

x2

4

+y2=1上一点，
∴|

PA

|+|

PF2

|=|

PA

|+(2a-|

PF1

|)=2a+(|

PA

|-|

PF1

|)
当且仅当P、A、F₁三点共线时，|

PA

|-|

PF1

|取得最小与最大，|

PA

|+|

PF2

|取得最小与最大．
∵A(

3

2

，

1

2

)，F1(-

3

，0)
∴|AF1|=

7

∴|

PA

|+|

PF2

|的取值范围为[4-

7

，4+

7

]，故④正确
故答案为：②③④