题目

题型：不详难度：来源：

已知点F₁（-4，0），F₂（4，0），又P（x，y）是曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1上的点，则（　　）

A．|PF1|+|PF2|=10

B．|PF1|+|PF2|＜10

C．|PF1|+|PF2|≤10

D．|PF1|+|PF2|≥10

答案

根据方程(

x

5

)4+(

y

3

)4=1，可以联想椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，
在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上取点Q（5cosα，3sinα），即x=5cosα，y=3sinα
则(

x

5

)4+(

y

3

)4=cos 4α +sin4α=2(sin2α-

1

2

) 2+

1

2

∵0≤sin²α≤1，
∴

1

2

≤(

x2

25

)2+(

y2

9

)2≤1
即点Q在曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的内部或在曲线上
所以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上的点在封闭曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的内部或曲线上
由题意，

x2

25

+

y2

9

=1是以点F₁（-4.0），F₂（4，0）为焦点的椭圆
∴当P点恰好取在顶点上时，此时点P在椭圆上，故有|PF₁|+|PF₂|=10
点P不在曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的顶点上时，必有点P在椭圆的外部，故|PF₁|+|PF₂|＞10
综上所述，|PF₁|+|PF₂|≥10
故选D．
法二：任取点P（x，y）在曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1上，可令

x2

25

=cosA≥0，

y2

9

=sinA≥0，A∈[0，

π

2

]
则有sinA+cosA≥1，即

x2

25

+

y2

9

≥1由此知点P（x，y）在

x2

25

+

y2

9

=1上可其外部，故有|PF₁|+|PF₂|≥10
故选D