题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅱ)在(Ⅰ)的情形下,是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形?若存在,求出共有几个;若不存在,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)设,,则
因为在椭圆上,所以,
,当时,取得最小值,此时点的坐标为.
(Ⅱ)设两个顶点为B,C,显然直线AC斜率存在,不妨设AC的直线方程为,代入椭圆的方程中可得,解得(即A点的横坐标),
由弦长公式得:
同理:z
由,即,化解得:
,即.
考虑关于的方程,其判别式
(1)当时,,其两根设为,由于,故两根必为正根,显然,故关于的方程有三解,相应地,这样的等腰直角三角形有三个.
(2)当时,,此时方程的解,故方程
只有一解,相应地,这样的等腰直角三角形只有一个.
(3)当时,显然方程只有这一个解,相应地,这样的等腰直角三角形只有一个.
综上:当时,这样的等腰直角三角形有三个;当时,这样的等腰直角三角形只有一个.
解析
核心考点
试题【设椭圆的左、右焦点分别为 ,是椭圆上位于轴上方的动点 (Ⅰ)当取最小值时,求点的坐标;(Ⅱ)在(Ⅰ)的情形下,是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形?】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
如题21图,已知离心率为的椭圆过点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线交椭圆C于不同的两点A、B。
(1)求面积的最大值;
(2)证明:直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。
如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为和,且与共线.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得与关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
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