题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在定点M、N,使得为定值.若存在,求出M、N点坐标;若不存在,说明理由.
答案
(2)存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1),使得为定值.
解析
试题分析:(1)设椭圆方程为,则由题意知,则
,则椭圆方程为,代入点的坐标可得
,所求椭圆方程为
(2)当直线或斜率不存在时,P点坐标为(-1, 0)或(1, 0).
当直线斜率存在时,设斜率分别为,,设,,
由得 ,∴ ,.
,同理.∵, ∴,即.又, ∴.
设,则,即,
由当直线或斜率不存在时,P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足,∴点椭圆上,则存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1),使得为定值.
点评:中档题,结合椭圆的几何性质,应用“待定系数法”求得了椭圆方程。研究直线与圆锥曲线的位置关系,往往应用韦达定理,通过“整体代换”,简化解题过程,实现解题目的。(II)中对两直线斜率存在情况进行讨论,易于忽视。
核心考点
试题【中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,且经过点。若分别过椭圆的左右焦点、的动直线、相交于P点,与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点,直线OA、OB、OC、】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)求e的值;
(2)试判定原点关于l的对称点是否在椭圆上,并说明理由。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点且斜率为的直线交椭圆于、两点,求三角形面积.
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