题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（3）设第（2）问中的与轴交于点，不同的两点在上，且满足,求的取值范围.

答案

（1）；（2）（3）

解析

试题分析：（1）双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为。根据题意原点到直线的距离为，又因为可解得。（2）由题意知即点到直线，和到点的距离相等，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点以直线为准线的抛物线。（3）由的方程为知设，根据得出的关系，用两点间距离求，再用配方法求最值。
试题解析：解（1）易知：双曲线的离心率为，，
即 ，                             1分
又由题意知：，                          2分
椭圆的方程为.                                   3分
（2） 
动点到定直线的距离等于它到定点的距离       5分
动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，              6分
点的轨迹的方程为.                                7分
（3）由（2）知：,设，
则，                      8分

，                  9分
由，左式可化简为：，               10分
，
当且仅当，即时取等号，                       11分
又，
当，即时，，                  13分
故的取值范围是.                                14分