题目

题型：不详难度：来源：

过椭圆Γ：＝1(a＞b＞0)右焦点F₂的直线交椭圆于A，B两点，F₁为其左焦点，已知△AF₁B的周长为8，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（1）＋y²＝1（2）存在圆心在原点的圆x²＋y²＝满足条件

解析

(1)由已知得解得∴b²＝a²－c²＝1，
故椭圆Γ的方程为＋y²＝1.
(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x²＋y²＝r²(0＜r＜1)．
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t，
由消去y整理得(1＋4k²)x²＋8ktx＋4t²－4＝0.
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.①
∵⊥，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0.
又y₁＝kx₁＋t，y₂＝kx₂＋t，
∴x₁x₂＋(kx₁＋t)(kx₂＋t)＝0，
即(1＋k²)x₁x₂＋kt(x₁＋x₂)＋t²＝0.②
将①代入②得＋t²＝0，
即t²＝ (1＋k²)．
∵直线PQ与圆x²＋y²＝r²相切，
∴r＝∈(0,1)，
∴存在圆x²＋y²＝满足条件．
当直线PQ的斜率不存在时，也适合x²＋y²＝.
综上所述，存在圆心在原点的圆x²＋y²＝满足条件．