题目

题型：四川省高考真题难度：来源：

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=，右准线方程为x=2，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线l的方程式。

答案

解：（Ⅰ）由条件有，解得a=，c=1，
∴，
所以，所求椭圆的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
将x=-1代入椭圆方程得，
不妨设M、N，
∴，
∴，与题设矛盾；
∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），
设，
联立，消y得，
由根与系数的关系知，
从而，
又∵，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得（舍），∴k=±1，
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1。