题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量=（mx，y+1），向量=（x，y-1），，动点M（x，y）的轨迹为E，
（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知m=，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB(O为坐标原点)，并求出该圆的方程；
(3)已知m=，设直线l与圆C：x²+y²=R²(1＜R＜2)相切于A₁，且l与轨迹E只有一个公共点B₁，当R为何值时，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值。

答案

解：（1）因为，
所以，即，
当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
当m=1时，方程表示的是圆；
当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；
当m＜0时，方程表示的是双曲线；
（2）当时，轨迹E的方程为，
设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，
解方程组得，
即，
要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B，
则使△=，
即，且，
，
要使，需使，
即，
所以，
所以又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，，
所求的圆为；
当切线的斜率不存在时，切线为，
与交于点也满足OA⊥OB；
综上， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且。
（3）当时，轨迹E的方程为，
设直线l的方程为y=kx+t，因为直线l与圆C：(1＜R＜2)相切于A₁，
由（2）知， ①
因为l与轨迹E只有一个公共点B₁，
由（2）知得，
即有唯一解，
则△=，
即， ②
由①②得，此时A，B重合为B₁(x₁，y₁)点，
由中，
所以，，
B₁(x₁，y₁)点在椭圆上，所以，
所以，
在直角三角形OA₁B₁中，
，
因为当且仅当时取等号，
所以，
即当时，|A₁B₁|取得最大值，最大值为1。