题目
题型:山西省月考题难度:来源:
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(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,试问直线l是否过定点?若过,求该定点的坐标。
答案
解:(1)由椭圆C的离心率e=,
椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),
又点F2在线段PF1的中垂线上,
∴|F1F2|=|PF2|,
∴(2c)2=()2+(2-c)2,解得c=1,
∴a2=2,b2=1,
∴椭圆的方程为+y2=1;
2)由题意,直线MN的方程为y=kx+m,
由消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则,
且,
,
由已知α+β=π得,
即,
化简,得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,
∴2k·,解得m=-2k,
∴直线MN的方程为y=k(x-2),
因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0)。
核心考点
试题【已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上,(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l:y=k】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(Ⅰ)求点P的轨迹的方程;
(Ⅱ)记点P轨迹为曲线C,过点Q(2,1)任作直线l交曲线C于M,N两点,过M作斜率为
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(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP与椭圆相交于异于A的点M,证明:△MBP为钝角三角形。
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(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得
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(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求证:
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[ ]
B.2
C.3
D.4
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