题目

题型：山西省月考题难度：来源：

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，），点F₂在线段PF₁的中垂线上，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标。

答案

解：（1）由椭圆C的离心率e=，
椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
又点F₂在线段PF₁的中垂线上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，
∴（2c）²=（）²+（2-c）²，解得c=1，
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆的方程为+y²=1；
2）由题意，直线MN的方程为y=kx+m，
由消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则，
且，，
由已知α+β=π得，
即，
化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k·，解得m=-2k，
∴直线MN的方程为y=k（x-2），
因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。